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Bonjour, petite question de précision pour votre question,
il s'agit d'une distance à vol d'oiseau ou par route (cela n'implique pas les mêmes outils)

Pour un cas de figure d'une distance à vol d'oiseau et un usage uniquement dans Qgis.
La solution me semble de faire des buffer de différentes tailles (correspondant aux distances indiquées) à partir des centroïdes des communes ne disposant de ce service et de sélectionner les communes qui intersectent ces tampons pour venir modifier manuellement les valeurs attributaires des communes sélectionnées par la calculatrice de champs. Pour le faire à la main, il s'agirait de faire le travail successivement des communes de 5km puis 10 puis 20 en veillant à ne sélectionner que les communes dont les champs ne sont pas renseignés à chaque étapes.

Si les manipulations techniques posent problème ( sélection par intersection)
Le plus simple peut être même de le faire par superposition sans traitements géomatiques avec les tampons de différentes tailles et un mode de fusion entre couches différentié permettant de sélectionner à la main les entités et de leur donner un attribut via la calculatrice de champs.

pour extraire les données, il est possible de faire un clic droit sur la couche: enregistrer sous "TABLEUR OPEN DOCUMENT" pour récupérer un fichier .ODS qui pourra être ouvert dans Qgis.