Le portail francophone de la géomatique

0- si systeme non linéaire -> lineariser autour d une solution approchée et boucler les étapes suivantes jusqu a convergence

1- écrire les équations sous la forme AX=B
X matrice colonne avec les inconnues
A matrice rectangulaire
B matrice colonne
Éventuellement P matrice carrée de pondération
(Par exemple une matrice diagonale avec l inverse des variances)
2- tapper bêtement (en matlab, scilab ou Python en fonction de l année de la promo)
Xresultat=(At*P*A)^-1 * (At*P*B) At= transposée de A
Ou
Xresultat=(At*A)^(-1) * (At*B) si P = identité
pour les élèves les plus attentifs -> si B=0 vous pouvez passer par une svd

Puis à partir de ce moment on commence à reflechir, analyse de résidu test statistiques etc

Ah, les mystères insondables des moindre carrés! De la magie noir, je vous dit.

Elle est forte, celle-là!!! Il doit y avoir un bug quelque-part. 

, les matrices, ce n'est pas une méthode, c'est un formalisme, qui permet de présenter les mêmes calculs d'une façon plus synthétique (et du coup limiter les risques d'erreur). La minimisation de la somme des carrés des résidus conduit à un système de n équations à n inconnues. Si ce système n'est pas linéaire (et il ne l'est pas souvent, malheureusement) on fait un développement au premier ordre, et on se ramène à un système linéaire tangent. Vous pouvez résoudre ce système à la main, par substitution par exemple (mais attention, ça peut vous prendre quelques centaines d'années si le système est un peu gros, un chantier de photogrammétrie terrestre d'une cinquantaine d'images avec une centaine de milliers de points donne un système d'environ 600000 équations à 300000 inconnues, courage!), ou le soustraiter à un ordinateur qui appliquera une formulation matricielle pour le résoudre. Si les résultats ont différents, je suis prêt à parier beaucoup de caisses de champagne sur l'ordinateur.
Quant à l'enseignement, les méthodes d'optimisation font partie des connaissances de base de tout étudiant qui souhaite réussir à un concours de grande école (en tout cas de l'ENSG...). N'y sont développés que les aspects spécifiques de leur application aux domaines de l'information géographique, surtout photogrammétrie et géodésie. Quant à Helmert, pas besoin de matrices, le système est à variable séparées et se résout formellement avec un papier et un crayon.

Un peu de littérature (pour montrer que les enseignants font leur boulot)
https://www.lavoisier.fr/livre/mathemat … 2746203396 quand même plus récent que Levallois (mais nécessitant de sérieuses connaissances mathématiques)
Plus accessible : https://geodesie.ign.fr/index.php?page=compensation

Dernière modification par Yves Egels (Tue 19 February 2019 18:22)

Bonjour Christophe,

Je pense que c'est le contraire. On cherche la solution la plus probable, c'est une notion bien connue en topométrie et en géodésie, et pour la trouver, on utilise la méthode des moindres carrés. Ceci se démonte facilement.
C'est curieux que tu parles de la méthode Helmert. Sauf erreur de ma part, il y a quelques années, tu étais plutôt favorable à la méthode dite "élastique". J'ai tenté de contacter les auteurs de cette méthode, je n'ai pas eu de réponse. En tout cas, actuellement, sauf imposition particulière, la méthode à utiliser est la transformation affine. Mais, tu t'es peut-être remis à la méthode Helmert.

Oui, il y a des cas où le système n'est pas linéaire. Jean Jacquelin a bien étudié tout cela. En l'occurrence, chaque cas est à étudier indépendamment, mais ce n'est pas le contexte. 

Oui, je suis parfaitement d'accord que ce n'est qu'une autre écriture. Mais, comme le calcul est fait par la machine, pourquoi lui imposer les étapes intermédiaires, utilisée par les hommes au tableau noir, mais qui double environ le nombre d'opérations élémentaires. Je l'ai vérifié avec la résolution de système linéaire NxN.

C'était le but de ce sujet.