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Bonjour,
Quelle version de QGIS? Les dernières versions intègrent la notion de texte dynamique, une liste prédéfinies de valeurs couramment utilisées dans une mise en page. Vous pouvez y choisir l'échelle d'une carte à utiliser.
Autrement, l'une ou l'autre de ces expressions devrait faire l'affaire (pas besoin d'une variable personnalisée, QGIS en crée une pour chaque objet carte déjà)

[%map_get( item_variables( 'Map 1' ), 'map_scale' )%]

ou encore

[%item_variables('Map 1')['map_scale']%]

Tout d'abord, précisons que l'étendue et l'échelle sont deux valeurs qui ne sont pas forcément synchrones; tout dépend de la taille d'affichage de votre canevas principal ET de votre objet carte. En gros, il est plus facile de faire coïncider un seul paramètre dans les deux fenêtres que les deux à la fois.
Pour ce qui est de l'affichage automatique, je ne suis pas sûr que QGIS expose des variables/paramètres du canevas principal dans la mise en page pour configurer dynamiquement l'objet carte. Bizarre, d'ailleurs...
Par contre, pour ce qui est de la mise à jour de l'étendue et ou échelle (manuellement), ce n'est pas avec le bouton "Mettre à jour...." mais les boutons "Fixer sur l'emprise courante du canevas" (et associés) qui sont au dessus du panneau des propriétés de l'objet carte (https://docs.qgis.org/3.22/fr/docs/user … he-toolbar)