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Bonjour,

Ce qu'il faut c'est poser la bonne question, donc savoir écrire l'équation. Ou comment traduire du français en maths.

J'ai des points P(xi,yi) dans un système de départ, les mêmes X(XI,YI) exprimés dans le système d'arrivé.

Je fais le choix de définir une transformation conforme (non déformante et bijective) pour passer du système de départ au système d'arrivé.

Cette transformation est la composée d'une homothétie de centre O de facteur k, d'une rotation de centre O d'angle @ et une translation de vecteur V(p,q). On prendra a = k*cos(@) et b = k*sin(@)

La transformée d'un point p(xi,yi) en P'(x'i,y'i) s'écrit :

x'i=a*xi+b*yi+p
y'i = b*xi - a*yi +q

avec XI-x'i = epsilonx et YI-y'i= epsilony

Je cherche a,b,p,q tels que epsilonx^2 et epsilon^2 soient minimum.

J'écris donc

(Xi-(axi+byi+p))^2=ex^2
(YI-(bxi-ayi+q))^2=ey^2

Système d'équation qui est minimal si et seulement si la dérivée est nulle

Je cherche donc a,b,p,q pour que la dérivée du système précédent soit minimale.

NB je vous conseille de chercher avec l'équation matricielle c'est plus élégant.

Et cela me paraît typique d'un exercice de calcul topo.

Bonjour les amie, désolé pour le silence. J'était en deplacement (Boulot)
En fait ce n'est pas un exercice mais c'est un travaille qu'on m'a demandé de faire au bureau, puisque je suis le responsable de la Topo.
On devait créer une base locale dont l'origine est un point fictif implanté sur le terrain. Ensuite j'ai voulu créer une feuille de calcul qui nous permettra
de transformer toute coordonnée UTM en cordonnée locale et vice versa.

Désolé de ne pas avoir était assez claire sur ma question.

On voulait utiliser la transformation de Helmert et l'objectif etait de parvenir à
calculer les paramètres de transformation (Tx,Ty,Tz,D,Rx,Ry,Rz) par la MMC.
On savait qu'il fallait poser l'equation matricielle AX-B=V
X etant la matrice des inconnu, B les termes constants V les résidu et enfin
A la matrice du système.

J'avait des soucis avec la matrice A d'où ma question.

En continuant mes recherches j'ai pu trouver une thèse qui traite bien la
metthode helmert et l'estimation des paramètres par la MMC.

Je joint le fichier au cas ou quelqu'un aurait des problèmes similaires.

http://renag.unice.fr/regal/PERSO/JMN/e … _trong.pdf

Merci

Bonjour,
Je ne serais pas aussi catégorique que P.D. sur les vertus de la transformation affine. On doit choisir une transformation qui correspond au problème que l'on se pose, la formulation mathématique n'étant qu'une transposition calculatoire d'un problème physique donné. Même pour quelque-chose d'aussi élémentaire qu'une transfo de coordonnées, plusieurs cas de figure peuvent se présenter, qui amènent à l'usage de telle ou telle formule.
Si vous voulez recaler le cadastre napoléonien, mesuré au double décimètre sur un plan d'époque, vous ne pouvez pas être sur de l'égalité des échelles en X et Y (entre-autres à cause du jeu du papier), ni même de l'orthogonalité des axes. On choisira une transfo qui absorbe ces défauts, transfo affine 2D.
Si vous avez deux levés de qualité, peu étendus, dans deux projections conformes différente, ça sera une similitude 2D, associé éventuellement à une translation verticale. Si l'extension du chantier dépasse quelques kilomètres, il faudra une transfo géodésique rigoureuse.
Pour caler un relevé laser 3D, ce sera une rotation translation 2D ou 3D suivant que le scanner est bullé ou non, mais de toute façon l'échelle sera égale à 1.
Pourquoi ne pas prendre toujours la formule la plus générale, l'affinité 3D, qui contient toutes ces transfos (et qui est la plus facile à programmer...)? tout simplement parce que, plus on laisse de liberté au modèle, plus il va avoir tendance à faire tout et n'importe quoi, et spécialement à masquer des erreurs grossières, tout en nécessitant un plus grand nombre de points de calage. En particulier, la composante altimétrique sera calculée sur l'"épaisseur" du levé, habituellement faible sauf en montagne, et l'échelle altimétrique sera n'importe quoi (dans une affinité, il y a une échelle par axe, et les axes de coordonnée ne restent pas perpendiculaires).

Question 1 : Une bonne transfo modélise les contraintes que comporte le problème, et pas plus. Les exemples que j'ai donnés respectent cet aspect. Par exemple, dans le cas d'un changement de projection, si on connait les altérations linéaires des deux systèmes, il vaut mieux les appliquer, et ensuite faire une rotation-translation à échelle 1.
Question 2 : La transformation affine dépend linéairement de ses paramètres, de même que la similitude 2D. Ce n'est pas le cas de la rotation, ou de la similitude 3D. Pour résoudre les cas non linéaires, il est nécessaire de résoudre itérativement le système tangent, à partir d'une valeur approchée, qu'il faut avoir déterminée par une méthode quelconque (pas toujours simple...). L'algorithmique est très sensiblement plus complexe, d'autant plus que cette méthode étant sensible aux fautes, il est indispensable d'y adjoindre des procédures d'élimination des fautes grossières.
Malheureusement pour les photogrammétres , les équations qui modélisent la perspective  sont  presqu'exclusivement non linéaires, et, quant à la facilité de programmation, je parle d'expérience

Dernière modification par Yves Egels (Sat 05 May 2018 09:25)