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Bonjour,

Transfo affines utilisée par l'IGN ? Hum un petit doute il s'agit plutôt de triangulation de Delaunay . Ceci est à vérifier.

Pour la DGI (et c'est ce qui la différencie des prestataire privé) elle réalise une transformation dite en bloc  par modèle indépendant, voir l'échange sur ce forum "réception d'un plan photo au 1/2000" (en fin).
Cette transfo permet de calculer les paramètres d'une transformation d'helmert pour chaque feuille cadastrale d'une commune. Mais ceci en tenant compte de toutes les feuilles et de leur jonction (raccord entre feuille).

Deuxièmement toutes les deux, helmert et affine, sont des transformation, du plan sur lui même.

Une transformation affine ne conserve pas les propriété géométrique d'une figure (delaunay pareil), un carré peut devenir un rectangle, l'angle entre deux droite peut varier.
Une transfo affine classique est la déformation d'un plan lors du passage dans les antiques repro à l'amoniaque le plan est déformé perpendiculairement à l'axe du rouleau de la repro.

A l'inverse une adaptation d'helmert conserve les propriété géométrique d'une figure. Une notion qui est classiquement démontrée par le fait que la transformée du barycentre d'un nuage de point est le barycentre des points transformés.
Cette transfo est la composée d'une homothétie de centre O et de rapport k qui peut s'écrire (centre en 0.0)
X=k*x
Y=K*y
et d'une rotation d'angle téta (sens des angle: cercle topo)
X= cos(teta)*x + sin(teta)*y
Y =-sin(teta)*X + cos(teta)*y

et d'une translation de vecteur (p,q)
X= x+p
Y= Y +q

Si on pose a= k*cos(teta) et b= k*sin(teta) alors l'helmert peut s'écrire

X= ax + by +p
Y = -bx + ay + q

Toute la problématique en topographie est de trouver les paramètres a,b,p,q connaissant un nombre de point dans le système de départ et leurs coordonnées dans un système d'arrivée, local et lambert zone par exemple.
On démontre facilement qu'il suffit de deux points pour calculer a,b,p,q ceci c'est la théorie mathématique, mais dans la pratique en topographie le nombre de points connus dans les deux systèmes est supérieur à deux, et il n'existe pas H(a,b,p,q )tel que chaque point soit transformé en sa valeur connue dans le système final. Mais on peut trouver H(a,b,p,q) de manière à ce que chaque point transformé soit le plus proche possible de la valeur connue. Ceci s'appel la méthode des moindres carrés.

Soit v le résidu, la distance qui sépare la transformée du point de sa valeur connue (que l'on note Xm, Ym) 
pour chaque point connu on ecrit:

ax + by + p - Xm = vx
-bx + ay + q - Ym = vy

ou Vx, Vy sont la projection sur les axes du résidu v

Ceci peut être ecrit sous forme matricielle:

A*X- K = V avec

A :
ligne 1: x1 y1 1 0
ligne 2: y1 -x1  0 1
ligne n: xi  yi 1 0
ligne n+1: yi -xi  0 1
avec i = n/2

X matrice des inconnue (une colonne unique) : (a,b,p,q)

K matrice (une colonne unique): (x1m,y1m, ..... Xim,Yim)

V matrice (une colonne unique): (v1x,v1y .... vix,viy)

On cherche H(a,b,p,q) tel que le carré des résidu soit minimal (distance au carré minimale),  donc que la dérivée de la fonction représentant les résidu soit nulle.

Le carré des résidus s'écrit : transposée de V multiplié par V, (tV*V) ou encore :
Transposée de (AX-K) que multiplie (AX-K) reste à dériver cela et résoudre ce qui permet de calculer a,b,p,q.

Bonne aspirine 2007 Bruno

A+

Christophe

Dernière modification par DIANA2D.dev (Mon 08 January 2007 23:26)

Bonjour

Une grosse erreur dans mon précédent post sur les "affines" voici la définition mathématique:

http://fr.wikipedia.org/wiki/Application_affine

Merci Robin. Effectivement le parralelisme est conservé donc l'angle entre deux droite ne devrait pas varier.

Christophe

Bonjour,

Une petite remarque, il est très difficile d'écrire des formules mathématiques dans un post, pour le HTML j'utilise Amaya, est-ce que les services techniques de GeoRezo auraient une solution pour permettre d'écrire ce genre de chose ??

A+

Christophe

Ca a l'air possible en PunBB, je fais passer la demande en interne. On va voir si on peut faire du LaTeX

Robin.

Dernière modification par Robin (Tue 09 January 2007 17:11)

Hello Christophe,

Pour le rajout de LaTeX sur le forum, c'est mis dans les "idées" mais ce n'est pas le plus urgent dans nos liste de développement, de plus il faut trouver une solution pour les abonnés par mail qui ne vont rien voir.
Il semble qu'il y ait des serveurs publics qui pourraient permettre de créer des formules. Libre à l'intéressé de joindre l'image de la formule a son message

Robin.

Test : desolé pour les utilisateurs mail qui ne verront rien...

Hello,

Explication  : notre Fred préféré, dans un élan de générosité, a implanté le LaTeX sur GeoRezo, mais chut, ce n'est pas encore officiel

Il suffit d'utiliser les balises dont on parle ici :

http://www.math-linux.com/forum/viewtopic.php?id=1

Robin.

Rapide comme la Foudre ! Béni par nos soins (en remerciements).

A+

Christophe

salut Christophe V.
j' ai lu ton sujet sur la transformation d'helmert et la méthode des moindres carrés qui pour un néophyte comme moi est
une source de compréhension inestimable (je n' ai trouvé nulle part une explication aussi synthétique)
Mais n' étant pas un matheux dans l'âme je me pose plusieurs question:
ax + by + p - Xm = vx
-bx + ay + q - Ym = vy
Dans les 2 équations ci dessus est ce que x,y correspond au point qu'on veut transformer et est ce que Xm,Ym
correspond au point dans le système d'arrivée ?

Transposée de (AX-K) que multiplie (AX-K) reste à dériver cela et résoudre ce qui permet de calculer a,b,p,q.
quand on fait dérivée(t(AX-K)*(AX-K))=0 comment résoud on cette équation pour trouver a,b,p,q?
si tu as le temps de m'expliquer?
et peux tu me dire si j' ai bien compris ,une fois qu'on a a,b,p,q
il suffit d' appliquer à chaque point les formules:
X= ax + by +p
Y = -bx + ay + q
X,Y étant la transformé du point x,y du système d'origine dans le système d'arrivée.

merci d'avance.

merci christophe
grace à tes explications j'ai compris l'essentiel ce qui au départ paraissait difficile.
c' est vraiment sympa de ta part .
je travaille le sujet (il va me falloir un peu de temps) et je te demanderais peut être d'autres explications si
je coince.
merci encore.

SALUT Christophe
je vais t'exposer le problème que je tentes de résoudre (pour l'instant je t'avoue que j'apprends les premières notions sur la transformation
d' helmert et que je ne suis donc pas au bout de mes peines):
(je fais ça en VB6 visual basic)
j' ouvre un fichier DXF dont j' extrais les points et  je positionne ces points sur un plan scanné (une pictureBOX).
ce que je veux obtenir -> en cliquant sur le plan scanné je prends différents points d' une parcelle et ce que je voudrais obtenir par la transformation d' Helmert c' est de repositionner correctement les points du fichier DXF par rapport aux points que j'ai cliquer successivement
sur le plan scanné.
je ne sais pas si je me fais bien comprendre ??
J' ai vite compris que pour résoudre la matrice que tu m'as gracieusement donné il fallait vraiment mettre les mains dans le cambouis.
à tel enseigne que pour l'instant j'ai toujours les mains propres.
Si tu peux m'éclairer de tes lumières cela me permettra peut être d'avancer un peu.

merci  christophe
je vais essayer de comprendre ton code.
je te tiens au courant

DANS le global , dis moi si je me trompes christophe .
repd contient les points dans les coordonnées du système à adapter(j'ouvre le fichier DXF et je charge les points dans repd-> on met en forme la matrice M1)
repa contient les coordonnées mesurées.(je clique les points sur le plan scanné (picturebox) que je mets dans repa-> on met en forme la matrice M2)
Aprés les différents calculs sur les matrices :
dans param(3) on obtient les 4 valeurs (a,b,p,q) de la transformation de helmert.
est ce que après le calcul : residus(i%) = residus(i%) + M1(i%, j%) * param(j%)
on retrouve les points transformés dans residus(i%)  ?
est ce qu'il suffit alors de positionner les points transformés de coordonnées  residus(i%)  sur le plan scanné
en affichant les textes des côtes des points du DXF Contenus dans  M1(i%, j%) ?

BONJOUR CHRISTOPHE
MERCI POUR TON EXPLICATION.
MAIS COMMENT ON REPOSITIONNE LES POINTS DU DXF PAR RAPPORT AUX POINTS Cliqués sur le plan du scan ?
PAR w0 et w1 ?

en attendant tes conseils avisés.
à +

OK si j' ai bien compris il ne me reste plus qu'a faire cela :
sachant que pointx(i) et pointy(i) est l'image de repd.
IL SUFFIT d' afficher les nouveaux points pointtransformex(i%) et pointtransformey(i%) avec les textes des coordonnées de
pointx(i) et pointy(i)
for i%= 0 to  maxpoint -1 then
pointtransformex(i%)=param(0).pointx(i%)+param(1).pointy(i%)+param(2)
pointtransformey(i%)=-param(1).pointx(i%)+param(0).pointy(i%)+param(3)
end if