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Il s'agit d'un outil que tu cherches, ou bien simplement la description de la méthode ?

Si ce n'est que la méthode, je ne vois pas où est la difficulté de passer d'un moindres carrés 2D à moindres carrés 3D, il y a juste des matrices plus grandes.

Si c'est l'outil que tu cherches, il faudrait donner un peu plus de précisions : qu'est-ce que tu veux recaler, dans quel format...

Excel fait du travail matriciel très rapidement. Helmert, c'est un système d'équation qu'on résout par moindres carrés, donc c'est pareil. Les principaux TP lors de ma formation d'ingénieur où il y avait du moindre carré se faisaient avec Excel. Le problème avec Excel, c'est qu'il faut adapter la taille des matrices selon les données. (n=3, 4 ou 12) Pour le faire en moins de 5 secondes à chaque fois, il faut passer quelque temps sur le VBA. Sinon, Je dirais qu'une fois qu'on comprends ce qu'il faut faire avec Excel et qu'on adapte les tableaux à chaque fois, en moins de 20 minutes c'est plié.

Et ce n'est pas une question de précision redoutable. D'ailleurs, si tu veux de la fiabilité, il faut abandonner les moindres carrés, et passer à plus compliquer.

Pour un tel problème, le plus simple est du moindre carré. Mais c'est vrai qu'il faut maitriser un minimum. Et si le calcul matriciel te dépasse...

Pas besoin de savoir calculer un déterminant ou l'inverse d'une matrice, c'est Excel qui s'en occupe, hein ! Si tu veux comprendre les moindres carrés, il faut juste comprendre les notations où une lettre symbolise un tableau entier. Le plus dur, c'est la notation, après la théorie et les calculs, tu peux t'en passer si tu veux juste appliquer le calcul (le problème dans ce cas, c'est d'être sûr du calcul, mais tu pourras toujours tester tes premières tentatives avec ton logiciel uni-licenses :p)

Bon, ca avance pas forcement dans la direction de départ mais ca avance... mais ca va plus beaucoup avancer : j'arrive comme un grand a calculer ma matrice de rotation pour me recaler sur trois points mais pas plus (sauf bien sûr si les jeux de coordonnées se correspondent parfaitement) et pour cause : pour le moment, je me contente de faire une moyenne des angles de rotation.
Du coup, mes écarts sur les points restent trop importants (de l'ordre de 10mm alors que je peux avoir un RMS de l'ordre de 0.5mm)...
Je ne comprends pas bien ce qui va me permettre d'ameliorer tout ça alors si quelqu'un pouvais vaguement me guider...

Benjamin, je t'ai dit depuis le début, les MMC, il n'y a que ça de bon si tu veux ajuster tes n points

En bref :
+ Former ton système d'équation du type B = A.X
- B est une matrice colonne (X1, Y1, Z1, X2, Y2.......)
- X est ta matrice (colonne aussi d'inconnues : Tx, Ty, Tz, R1, R2...
- A est une matrice de coefficient qui ici vont être Xancien1, Yancien1...

Si tu as X1 = Tx + R1X + R2Y + R3Z, la première ligne de la matrice A est 1  X   Y   Z

Est-ce que tu arrives à former ton système de matrices ?

+Résolution :
Dans le cas nombre d'équation = nombre d'inconnus, A est une matrice carré et tu peux résoudre avec un pivot de Gauss, ou simplement X = A^-1.B  (^-1 = inversion de matrice, fonction d'Excel)

Dans les autres cas, qui nous intéressent, il y a une formule à la con que je ne retrouve pas. À midi, on va faire simple, je regarde chez moi, je mets la formule, et je joins une feuille Excel avec des calculs de moindres carrés que tu pourras prendre en exemple...

Enfin ! la tant désirée formule matricielle pour résoudre par MC :



Et comme promis en pièce jointe, un joli TP avec les formules, une matrice de poids pour pondérer les données et quelques tests statistiques (cas linéaire).

S'il y a des questions, je suis toujours là :p

Dernière modification par Jérôme C (Thu 07 February 2008 19:44)

Me croyais déjà arrivé... un peu trop vite semble-t-il. La feuille excel ci-jointe présente le problème en détails (un peu trop long à expliquer sur un post). Help !
Au passage, je laisse l'adresse de ce memoire ESGT qui est pile poil dans le sujet (mais ne m'a pas suffit manifestment) http://www.esgt.cnam.fr/fr/tfe/memoires … is_mem.pdf

Complément d'information, avec seulement 2 points d'appui:

Je vais être un peu contradictoire avec ce que vous avez fait, mais si vous ne voulez pas prendre plus de points que nécessaire, alors c'est possible de résoudre facilement les équations avec un système de cramer:
et puisque tu ne voulais pas de facteurs d'échelle, on aurait donc:

X' =      X  +Rz.Y + -Ry.Z + Tx
Y' = -Rz.X +      Y +  Rx.Z + Ty
Z' =  Ry.X +-Rx.Y +       Z + Tz

3 rotations, 3 translations : 6 inconnues donc vous avez besoin de seulement 2 couples de points.(XYZ)

pas la peine de s'énerver, ça arrive