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Je n'ai pour ma part aucun problème à modifier l'encodage d'un shp avec QGIS, il suffit d'exporter le couche en spécifiant le nouvel encodage

En revanche je doute que cette manip vous permette d’atteindre votre objectif. Par ailleurs votre question est très imprécise :
- vous ne définissez pas ce que vous considérez être un caractère spécial (et soyez sûr que cette définition est parfaitement subjective, d'un point de vue informatique cela n'a aucun sens)
- vous ne précisez pas l'encodage que vous ciblez
- vous dites que vous voulez supprimer ces caractères spéciaux mais mon petit doigt me dit que vous voulez plutôt les remplacer

L'encodage le plus basique que je connaissance est l'ASCII, cette table contient déjà des caractères que vous pourriez juger spéciaux comme par exemple la simple quote. En revanche elle ne contient aucun caractère diacritique. Que se passe t-il donc si vous essayer de représenter un é en ASCII ? Et bien vous aurez un jolie point d'interrogation vous indiquant que le caractère équivalent n'existe pas dans le nouvel encodage. N'imaginez pas un instant que qu'un é deviendra un e ou qu'un ç deviendra un c. Aucune table de conversion de ce genre n’est appliquée lors de la conversion et c'est bien normal car ce ne sont pas les même caractères.

Il serait intéressant de savoir ce qui vous pousse à vouloir opérer ces substitutions. Les encodages modernes type utf8 savent très bien gérer les caractères spéciaux (comprendre les caractères hors table ascii) et de nos jours tous les systèmes d'exploitation supporte très bien cet encodage même dans un terminal de commandes.

Honnêtement je ne sais pas, je trouve ça très surprenant qu'ArcGIS ne reconnaisse pas correctement l'encodage. C'est quelle version du logiciel ?

Vous pouvez vérifier que l'export QGIS est correct en ouvrant le fichier DBF dans un tableur type libreoffice qui vous demandera l'encodage à utiliser pour la lecture. Avec un tableur vous pouvez même réenregistrer le DBF dans un autre encoding.

Ce que j’essaierai dans un premier temps  c'est d'exporter le shapefile depuis QGIS dans l'encodage Windows 1252 puis tester la lecture dans ArcGIS.

Le cas échéant, je laisserai tomber le format shapefile et j'utiliserai plutôt Geopackage si vous disposez d'une version d'ArcGIS assez récente pour lire ce format.