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Transformation

Ce terme est utilisé en géomatique pour définir un changement de repère d'un ensemble de points connus en X et Y et éventuellement Z.

Les formules de transformation peuvent être connues, par exemple pour passer de coordonnées géographiques aux coordonnées Lambert. Dans ce cas, il s'agit d'une opération qui ne nécessite pas d'explication particulière et il existe des “moulinettes” libres d'utilisation.

Lorsqu'il s'agit de transformer les coordonnées d'un système indépendant (système local image scannée par exemple) il est nécessaire de calculer les paramètres de la transformation.

La formule générale est

X = TX + XX * x + XY * y

Y = TY + YX * x + YY * y

X et Y sont les coordonnées dans le système général, x et y les coordonnées dans le
système local, TY, TY, XX, XY, YX, YY les six paramètres de la transformation.
C'est une transformation affine, c'est à dire que le rapport d'homothétie en X est
différent de celui dans le sens des Y. Cette transformation ne conserve ni les angles,
ni les rapports des distances, c'est à dire qu'un carré sera transformé en parallélogramme.

Il y a une simplification à cette transformation, où le rapport d'homothétie est
identique en X et en Y.

La formule s'écrit

X = TX + A * x - B * y

Y = TY + B * x + A * y

c'est à dire XX=A, XY=-B, YX=B, YY=A.

Les paramètres A et B peuvent s'écrire

A = L * cos( R )

B = L * sin( R ) où L est le rapport d'homothétie et R la rotation.

Au point de vue strictement mathématique et pour mémoire, cette formule peut s'écrire

X = A * x - B * y

Y = B * x + A * y , il s'agit d'une homothétie - rotation ; la translation (TX, TY)
n'est qu'une astuce de calcul pour minimiser le nombre de chiffres significatifs.

Cette transformation est imposée par la plupart des services du cadastre pour les numérisations de plans.

Cette transformation conserve les angles et les rapports des distances, c'est à dire
qu'un carré sera transformé en un carré.

Pour calculer les paramètres TX, TY, A et B, deux points connus dans les deux systèmes
sont suffisants. Il existe une transformation (Translation + Homothétie + Rotation) et
une seule qui fait correspondre un segment à un autre segment (compte tenu d'une translation définie).

Dans la pratique on doit disposer de plusieurs points connus dans les deux systèmes,
c'est à dire qu'il y a autant de transformations possibles que de couples de points
connus. On admet que la transformation la meilleure est celle qui donne une emq minimum sur l'écart des distances.
Ceci suppose deux hypothèses

1- les déformations de chacun des deux systèmes sont homogènes

2- la précision de tous les points connus dans les deux systèmes est identique, dans
chaque système, c'est à dire qu'il n'y a pas de point plus précis que d'autres.
Dans les applications qui nous concernent, ces deux hypothèses sont satifaites.

La méthode Helmert permet de résoudre facilement ce système qui comporte 2 inconnues
(A et B) et n équations, nombre de points de base. TX et TY sont des paramètres qui dépendent du centre de transformation choisi, souvent le centre de gravité des points de base.

La transformation affine donne des résultats plus précis, c'est à dire que l'emq sera inférieure, mais ce n'est pas une transformation conforme (isoforme), puisqu'elle ne conserve pas les angles. C'est la transformation la mieux adaptée lorsque l'image à transformer résulte d'un document papier et non d'un document numérique. Autrement dit, si on veut “coller” un fond de plan scanné sur un plan numérique, c'est cette transformation qu'il faut utiliser.

Contrairement à la transformation précédemment décrite, il n'y a pas de méthode simple pour calculer les six paramètres. Trois points définissent une transformation, dans la pratique, on disposera de six points de base au moins, plus de dix points ne donnent généralement pas de résultat meilleur. Pour le calcul, il faut écrire et résoudre un système linéaire de six équations à six inconnues.

 
main/dico/transformation.txt · Dernière modification: 2009/04/15 20:59 (modification externe)
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